Розробка уроку з геометрії для 9 класу "Геометричні перетворення"

Тема уроку. Переміщення, його властивості.

Девіз уроку. У величезному саду геометрії кожний може підібрати собі букет на свій смак… Девід Гільберт

Мета уроку: систематизувати  та узагальнити знання учнів про переміщення,   показати застосування геометричних перетворень у теорії ігор, розв’язуванні прикладних задач;  розвивати  логічне  мислення, творчу  активність, пізнавальний  інтерес; виховувати  культуру математичного мовлення, почуття відповідальності за доручену справу.

Тип уроку: узагальнення та систематизації знань учнів. 

Обладнання: мультимедійний проектор, ноутбук, дошка.

Хід уроку

І. Організаційний момент

ІІ. Актуалізація опорних знань учнів

Запитання

1. Яка градусна міра кута, у який перейде при симетрії відносно точки А кут В, градусна міра якого 56? ( 56

2. Що мають квадрат, коло, ромб, паралелограм, але не має правильний трикутник? (Центр симетрії)

3. Яким перетворенням можна замінити послідовне виконання двох осьових симетрій відносно перпендикулярних осей? (Симетрією відносно точки перетину цих прямих)

4. Як змінюються координати точки фігури при симетрії відносно початку координат? (На протилежні)

5. Ця фігура має нескінченну кількість осей симетрії. (Коло, круг)

6. Скільки осей симетрії має правильний восьмикутник? (12 осей)

7. Ця геометрична фігура має рівно три осі симетрії. (Правильний трикутник)

8. Яке перетворення отримаємо, виконавши послідовно два повороти, перший за годинниковою стрілкою на 60,  другий – на 50 проти годинникової стрілки? (На 10 за годинниковою стрілкою).

9. Як ще інакше можна назвати поворот на кут 180? (Центральною симетрією).

10. Чи може квадрат із стороною 5 см при паралельному перенесенні перейти в ромб із стороною 5 см? (Ні. Оскільки при паралельному перенесенні зберігаються і кути).

ІІІ.Відпрацювання вмінь та навичок

1. Розв’язування задач

Задача.1.1 (симетрія відносно осі)

Майстру потрібно нашити латку на хутро у вигляді трикутника. Він вирізав латку, але помилково не тією стороною (навиворіт). Що потрібно зробити  майстрові, щоб залатати хутро при умові, що більше такого хутра у нього немає?

Розв’язання

Для виправлення помилки майстер повинен розрізати латку, наприклад таким чином. Нехай А – найбільший кут трикутнику АВС, ЕF – середня лінія, АD – висота. Тоді трикутники BED і DFC рівнобедрені, бо чотирикутник AFDE має вісь симетрії EF. Тому  майстер може розрізати  латку по прямих ED і DF (кут А - найбільший, щоб точка D точно лежала на стороні ВС, а не на її продовженні) і перевернути трикутники ВЕD, DFC і чотирикутник AEDF. Задача 1.2 (центральна симетрія)

На ділянці, що має форму прямокутника розміщений квадратний майданчик. Як прокласти стежку, щоб вона розділила і ділянку, і  майданчик одночасно на дві рівні частини?

Розв’язання

Оскільки при центральній симетрії фігура переходить сама в себе і ділиться прямою,  що проходить через центр симетрії на дві рівні частини, то пряма, яка зображатиме стежку, проходитиме через центри симетрії прямокутника і квадрата .

Задача.1.3 (паралельне перенесення)

Заготовку, що має форму тупокутного трикутника АВС, потрібно перекраяти у заготовку, що має форму прямокутника. Як це зробити?

Розв’язання

Проводимо ЕF – середню лінію трикутника АВС. Трикутник FEC замінимо центрально-симетричним відносно точки F трикутника FKB. Потім проведемо АН перпендикулярно до КВ і трикутник АНВ паралельно перенесемо в положення трикутника ЕКQ (тобто виконаємо паралельне перенесення на відстань, що дорівнює АЕ, в напрямі від А до Е).

Задача 1.4.

Відновіть рівнобедрений трикутник АВС, де АС – основа, точки М і Р – основи висот. проведених до бічних сторін.1)за основами його двох висот і однієї вершини ( а)точки М. Р і А; б) точки М, Р і С) – у класі.

2)за двома вершинами і основою однієї з висот:

а) точки М, А і С; б)точки А, В і М – додому.

Розв’язання

а)Припустимо, що трикутник відновлено. Оскільки рівнобедрений трикутник має одну вісь симетрії – серединний перпендикуляр, проведений до основи, то точки М і Р симетричні відносно серединного перпендикуляра, точки А і С теж симетричні відносно нього, точка В лежить на серединному перпендикулярі.  Отже, з цього випливає наступна побудова:

1.З’єднуємо точки М і Р.

2. Проводимо пряму п через середину відрізка перпендикулярно до нього.

3.Для точки А будуємо симетричну відносно цієї прямої точку С (друга вершина трикутника).

4. Продовжуємо пряму АМ до перетину з п  в точці В (третя вершина трикутника).

5.Трикутник АВС – шуканий.

б)Побудова.

1.МР.

2.Через точку В проводимо пряму, перпендикулярну до МР.

3.Через точки М і Р проводимо прямі, перпендикулярні до ВМ і ВР  відповідно. О – точка перетину цих прямих.

4. МО і РО перетинають прямі ВМ і ВР у точках А і С.

5. Трикутник АВС відновлено.

Задача1.5. Гра в монети (застосування центральної симетрії)

Двоє по черзі кладуть на стіл прямокутної форми (або листок паперу ) однакові монети (наприклад,  5-копійкові або 50 – копійкові). Монети можна класти тільки на вільні місця так, щоб вони не накривали одна одну. Зсовувати покладені монети не дозволяється. Виграє той, хто покладе монету останнім. Як повинен класти монету перший гравець, щоб виграти гру? (Замість монети можна використовувати однакові предмети будь-якої форми, головне – предмети мають бути центрально-симетричними).

Розв’язання

Перший гравець повинен покласти монету в центрі стола (центри симетрії стола і монети повинні співпадати). Надалі він кладе свою монету кожного разу симетрично відносно центра стола монеті, котру покладе другий гравець,– це він завжди може зробити після кожного ходу другого гравця. Тому саме той гравець, котрий починає гру завжди буде вигравати.

Задача 1.6. Гра в більярд (застосування осьової симетрії)

На більярдному столі CDEF є дві кулі А і В. Вкажіть напрям, в якому потрібно штовхнути кулю А, щоб вона, відштовхнувшись від борту СD, вдарилась об кулю В.

Розв’язання

Припустимо, що задача розв’язана: кулю В треба штовхнути в напрямі АМ, щоб вона після відбиття в точці М від борту СD вдарила кулю В. Проведемо МN перпендикулярно CD. Відомо, що кут падіння дорівнює куту відбивання, значить,∠1=∠2. Побудуємо точку  симетричну точці В відносно CD. Так як ∠3=∠4, ∠2=∠5, то ∠1=∠5, а це можливо тільки тоді, коли лінія АМ є прямою. Тому план побудови очевидний, а саме:

1)будуємо точку , симетричну точці В відносно сторони CD;

2)проводимо пряму через точки А і . Ця пряма перетинає СD в точці М.Тому гравець повинен штовхнути кулю А в напрямі точки М, тоді, відбившись від борту CD, куля А штовхне кулю В.

2.Логічні задачі

1.Чи може половина дев’яти дорівнювати чотирьом?

2. Як поділити 18 на дві рівні частини, щоб у кожній із них вийшло 10?

3. Чи може половина восьми дорівнювати нулю?

4. Чи може половина восьми дорівнювати трьом?

   Відповідь. 

5. Наведіть приклади слів, що не змінюються при симетрії відносно деякої прямої.

(Відповідь. Наприклад, ДІД; OTTO; ПІП; АДА; АННА; АЛЛА.)

6. Які числа не змінюються при симетрії відносно деякої прямої?

( Відповідь. Наприклад, 8; 808.)

IV.Робота з комп’ютером

Завдання для тестової перевірки знань учнів

1.Яка фігура не володіє центральною симетрією?

А) коло;      Б)круг;     В)прямокутник;   Г)рівнобедрений трикутник.

2.  При  русі кути між пів прямими ….

А)зберігаються; Б)змінюються;  В)збільшуються; Г)зменшуються.

3.При осьовій симетрії точки, що належать осі, переходять в…

А) самі в себе;   Б)у будь-які точки;  В) у симетричні точки; Г)точки, що лежать на прямій.

4.Симетрія відносно точки є…

А)поворотом на 180;  Б)поворотом на 270; В) поворотом на 90; Г)поворотом на 360.

5. Перетворення однієї фігури в іншу, при якому зберігається відстань між точками , називається…

А)рухом;  Б)перетворенням подібності; В)симетрією відносно точки;Г)паралельним перенесенням.

6.Якщо перетворення симетрії відносно точки переводить фігуру в себе, то така фігура називається…

А)рівною;  Б)центрально-симетричною; В)симетричною;Г)подібною.

7.Яка фігура є ценрально-симетричною?

А)коло? Б)трапеція; В)різносторонній трикутник; Г)промінь.

7.Укажіть координати точки, яка симетрична точці А (-2;8) відносно осі Ох.

А)  (-2;8);        Б) (-2;-8);    В) (2; -8);   Г) (2;8).

8. Скільки  осей симетрії має кут?

А) одну;    Б) дві;      В) безліч;    Г) жодної. 9.  Які з букв мають центр симетрії?

9. Які з букв мають центр симетрії?

А) А;               Б) О;             В) М;             Г) К.

10.  Які з букв мають вісь симетрії?

А) Х;            Б) Р;             В) Г;              Г) У.

11. Яка фігура має безліч центрів симетрії?

А) трикутник;            Б) еліпс;           В) трапеція;         Г) пряма;

12. Вкажіть центр симетрії  паралелограма.

А) вершина ; Б) точка перетину  діагоналей;  Б) середина сторони; Г)будь-яка точка.

VI.Домашнє завдання

Повторити зміст понять теми «Геометричні перетворення»