Блог вчителя математики Садової ЗОШ І-ІІІ ступенів Шиміни Галини Анатоліївни: Розробка уроку з геометрії для 9 класу "Симетрія відносно точки"

Тема. Симетрія відносно точки

Мета уроку: сформувати поняття про симетрію відносно точки, навчити виконувати побудови фігур, симетричних даним відносно точки; розвивати спостережливість, увагу, критичне мислення, графічну культуру, самостійність; виховувати відповідальність, відчуття колективізму, спонукати до самостійного здобуття знань.

Тип уроку: засвоєння знань, умінь та навичок.

Обладнання: мультимедійний проектор, ноутбук.

Додаток: презентація уроку

Хід уроку

І.Організаційний момент

Перевірка готовності учнів до уроку, налаштування на роботу.

Учитель. Давня китайська мудрість говорить:

«Я чую - я забуваю, я бачу - я запам'ятовую, я роблю - я розумію».

Щоб наш урок був плідним, давайте скористаємося порадою китайських мудреців і будемо працювати за принципом: «Я чую - я бачу - я роблю».

ІІ. Актуалізація опорних знань учнів (використання інтерактивної технології «Мікрофон») слайд 2

1.Як називається перетворення, при якому зберігається відстань між точками?

2. Сформулюйте основну властивість переміщення?

3. Чи зберігаються при русі кути між променями?

4. Під час переміщення точки А, В і С переходять відповідно у точки А₁, В₁ і С₁. Точка С лежить між точками А і В. Яке взаємне розміщення точок А₁, В₁ і С₁?

5. В яку фігуру переходить під час переміщення пів пряма?

6. В яку фігуру переходить під час переміщення відрізок довжиною 9 см.

7. Під час переміщення точка А переходить у точку А₁, точка В - у точку В₁, точка С - у точку С₁. Кут АВС дорівнює 80˚. Який ще кут відомий і чому він дорівнює?

8. Чи існує переміщення, яке переводить відрізок із кінцями в точкахА (0;0) і В (0;3) у відрізок із кінцями в точках С(2;0) і Р(5;0)?

9.Чи існує переміщення, яке переводить коло х²+у²=25 у коло х²+у²=5?

ІІІ. Вивчення нового матеріалу

Історична довідка (повідомлення учня) слайд 3-5

Термін «симетрія» означає «домірність, пропорційність». Поняття симетрії бере початок у Стародавній Греції. Воно вперше було введено у V ст до н.е. скульптором Піфагором з Регіума. Давньогрецькі філософи розглядали симетрію як пропорційне співвідношення кількісних характеристик предметів і явищ. Піфагорійці - сам Піфагор, а також Гіппас, Полікліт, Філолай, Архіт - внесли математичний аспект у поняття симетрії. Ідея про те, що в основі світу лежить певна математична симетрія, була розроблена в стародавній Греції піфагорійцями і Платоном.

До проблеми симетрії у своїх працях Платон підходив з різних сторін, як синонім поняття симетрії вживав слова «гармонія», «домірність», «пропорційність», під симетрією розумів якийсь синтез межі і безмежного, але визначення цьому поняттю так і не дав. Гармонію Платон розглядав як єдність, тотожність, що виникає між різним і протилежним, антиподом називав дисгармонію (нерозмірність). Тому симетрія розглядалася ним не тільки в математичному аспекті, а також їй надавалося змістовне, якісне значення. Платон уявляє собі симетрію, як наявність взаємно-еквівалентних частин при дуже розширеному розумінні «центру» або «осі». Тут мисляться не тільки числові і геометричні відносини, але і відношення будь-яких сфер буття і життя.

У працях Арістотеля все античне вчення про симетрію знайшло узагальнення і подальший розвиток. Вчення піфагорійців, в якому наділялися особливими властивостями симетричні фігури, справила сильний вплив на Арістотеля. Філософ про симетрію говорив як про такий стан, що характеризується співвідношенням крайнощів. Форма в Арістотеля виступає в якості способу і закону додання симетрії даної речі. Кожен елемент (вода, повітря, земля і вогонь) складається з протилежних елементарних якостей, що представляють собою парне, симетричне поєднання. Найбільш істотним за Арістотелем, виявляються не постаті, не числа, а самі якості, дані в чуттєвому досвіді.

Проходячи крізь століття, термін «симетрія» обростав різними тлумаченнями.

«Симетрія - це якась « середня міра », - вважав Арістотель.

Римський лікар Гален (2 ст. н. е.) під симетрією розумів спокій душі і врівноваженість.

Піфагорійці розуміли під симетрією (гармонією) єдність протилежностей.

Леонардо да Вінчі вважав, що при створенні художнього твору головну роль грають пропорційність і гармонія, під якими він розумів симетрію.

Альбрехт Дюрер (1471-1528 р.р.) стверджував, що правильні симетричні многогранники лежать в основі побудови креслень різних інженерних споруд, і тому кожен художник повинен знати способи побудови правильних симетричних фігур.

Термін «симетрія» (σνμμετρυα, грец.) - співрозмірність, пропорційність, однаковість у розташуванні частин.

Математично строге уявлення про симетрію сформувалося порівняно нещодавно - у XIX столітті. Наукове визначення симетрії належить великому німецькому математику Герману Вейлю (1885-1955), який у своїй книзі "Симетрія" проаналізував також перехід від простого чуттєвого сприйняття симетрії до її наукового розуміння. Згідно Вейлю, під симетрією слід розуміти незмінність (інваріантність) будь-якого об'єкта за певного роду перетворень. Можна сказати, що симетрія є сукупність інваріантних властивостей об'єкта. Симетрія фігури - будь-яке перетворення, що переводить фігуру в себе.

Учитель. Дякую! Отже, симетрія – це слово грецького походження, воно означає співрозмірність, пропорційність, однаковість у розташуванні частин. А якже побудувавати симетричні фігури? І як визначити, що вони симетричні?

Виконаємо таку побудову:

1)позначимо в зошиті дві довільні точки А і О;

2)продовжимо відрізок ОА за точку А;

3) на продовженні відкладаємо відрізок О

=ОА.

Побудована таким способом точка

називається симетричною точці А відносно точки О. Слайд 6

Означення. Точки А і

, називаються симетричними відносно точки О, якщо точка О - середина відріз

Основні властивості поняття «симетрія відносно точки»:

Якщо точки А і

симетричні відносно точки О, то :

1) вони лежать на одній прямій;

2) відрізки О

і ОА рівні.

Перетворенням симетрії (симетрією) відносно точки О називають таке перетворення фігури F у фігуру

, унаслідок якого кожна точка А фігури F переходить у точку

фігури

, симетричну точці А відносно точки О. При цьому фігури F і

називаються симетричними відносно точки О. Симетрія відносно точки називається також центральною симетрією. Слайд 7

Якщо перетворення симетрії відносно точки О переводить фігуру у себе, то така фігура називається центрально-симетричною, а точка О - центром симетрії фігури .Слайд 8

Теорема (основна властивість центральної симетрії) Слайд 9

Центральна симетрія є переміщенням

Доведення

Нехай унаслідок центральної симетрії відносно точки О точки Х і У переходять у точки

Розглянемо загальний випадок коли точки О, Х і У не лежать на одній прямій. Трикутники XOY і

рівні за першою ознакою: ХО=

O (за означенням центральної симетрії);

YО=

О(за означенням центральної симетрії); ∠XOY=∠

—як вертикальні.

Отже, XY=

Таким чином, центральна симетрія зберігає відстань між точками, отже, є переміщенням.

Властивості симетрії відносно точки . Слайд 10

1.Перетворення симетрії відносно точки є переміщенням.

2.Перетворення симетрії відносно точки перетворює пряму на паралельну їй пряму або на себе; відрізок – на рівний і паралельний йому відрізок; многокутник – на рівний йому многокутник.

3.Будь-яка пряма, що проходить через центр симетрії, відображається при цій симетрії на себе.

4.Якщо точка А(х;у) симетрична точці В(х₁; у₁) відносно початку координат О, то виконуються умови: х₁=-х, у₁=-у.

ІV. Закріплення й осмислення навчального матеріалу

Виконання усних вправ

3.Які з фігур мають центр симетрії? Слайд 11

4.Які з букв мають центр симетрії? Слайд 12

А О М Х К

Виконання графічних вправ

1.Побудувати відрізок А₁В₁ , симетричний відрізку АВ відносно точки О. Слайд 13

2.Побудувати промінь, симетричний променю АВ відносно точки О .Слайд

3.Побудувати трикутник, симетричний трикутнику АВС відносно точки О.Слайд 14

4.Побудовати трикутник, симетричний трикутнику АВС відносно точки С. Слайд 15

Виконання письмових вправ

(Робота з підручником Геометрія 9кл А. П. Єршова

Вправа 423

Знайдіть точку, симетричну:

А) точці (2; 9) відносно початку координат;

Б) точці (2; -7) відносно точки (1; 1);

В) початку координат відносно точки перетину прямих х = -2 і у =3.

Розв’язання

А)Якщо точка А(2;9) симетрична точці В(х;у) відносно початку координат, то виконуються умови:

х= -х,

у = -у.

Отже, В( -2; - 9).

Б) Нехай точка А( 2;-7) – дана точка і точка О (1;1) - центр симетрії. Знайдемо координати точки

( х;у ), симетричній точці А відносно точки О. Точка О – середина відрізка А

Використовуючи формулу для знаходження координат середини відрізка, знайдемо координати точки А ₁:

В) Прямі х = -2 і у =3 перетинаються в точ

(-2;3). Точка

(-2;3) – середина відрізка АО. Використовуючи формулу для знаходження координат середини відрізка, знайдемо координати точки А:

Отже, А (-4; 6).

Вправа 431

Коло задане рівнянням

. Складіть рівняння кола, симетричного даному колу відносно:

А) початку координат;

Б) точки (-1; 4).

Розв’язання

а) Коло, задане рівнянням

, має R=5 і координати центра (4;3). Коло, симетричне даному відносно точки О (0;0) матиме R=5 і координати центра, протилежні координатам центра даного кола: О (-4;-3). Отже, рівняння кола, симетричного даному відносно початку координат матиме вигляд:.